中國古代數學
究竟有多牛逼
編者按：本報告基於林開亮博士參加由《知識就是力量》雜誌社主辦的2016年度 「全國中學生數學/物理/化學科普競賽」數學科普講座的通俗報告《從楊輝三角到李善蘭垛積術》和他在西北農林科技大學做的通俗報告《從高斯算1+2+3+...+100 談起》。感謝林老師授權【超級數學建模】發表。
高斯的故事
我們的故事從德國大數學家高斯（Gauss）講起：
傳說中的高斯解法：利用對稱性首尾相加求和
事實上，高斯用的是數學歸納法；他證明了一個更一般的結果
阿基米德的故事
不過高斯並不是最早得到公式（1）的人，至少古希臘的阿基米德就知道了（1），事實上，阿基米德還得到了下述平方和求和公式
阿基米德有一句名言流傳至今：給我一個（地球外）支點，我可以翹起整個地球！
你在開門時、用鉗子夾核桃就已經應用了這個槓桿原理！
阿基米德與高斯之間數學家：朱世傑
一個自然的問題是：
曆史上第一個給出這類問題解法的，是元代數學家朱世傑。特別地，對上述問題，他給出了答案：
這比歐洲最早得到這個公式的德國數學家萊布尼茨早了300多年。今年恰逢萊布尼茨（1646－1716）逝世300周年。
朱世傑：我們的主人公
朱世傑就是我要講的故事的主人公，我們不僅僅要介紹他是如何得到立方求和公式（3）的，還要介紹他的方法（裂項求和）如何可以求出一般的前n個數的p次方的和，即如何得到這樣的公式：
朱世傑現在對大家來說也許只是個陌生的名字，但我希望報告結束後你會得到這樣的認識，他位列古代最偉大數學家的行列。
朱世傑生活的大時代
世界
中世紀（Middle Ages， 大約500--1400 ）的漫漫長夜長達近千年，代表事件分別是羅馬帝國的滅亡與文藝複興。
中世紀的數學最輝煌的地域是中國（宋元四大家）、印度（婆羅摩笈多）、波斯（海亞姆）、義大利（斐波那契）。
翻譯傳播希臘與印度的數學和科學。
中國
宋元（960-1279-1368）四百年是中國古代數學的黃金時代，湧現出四位大數學家，人稱「宋元四大家」：
南宋：李冶（1192-1279）、秦九韶（1202-1261）、楊輝（約1238 -1298）
元：朱世傑（1249-1314）
四人皆有著作，成就了中國古代數學的最高峰
評註1：美國著名科學史家薩頓(G. Sarton，1884－1956)說過，秦九韶是「他那個民族，他那個時代最偉大的數學家之一。」這個評價同樣適用於李冶和朱世傑。
評註2：「宋元四大家」中真正能稱得上「大家」只有三位——秦九韶、李冶和朱世傑，而楊輝主要是數學教育家，把他算進來有點牽強。此外，在四人中，我們對楊輝的生平也是了解最少的。
宋元四大家
1、宋元四大家之秦九韶
秦九韶，字道古，生於安嶽（今四川安嶽縣）。南宋數學家、官員。代表作《數書九章》18卷（我表示遺憾：北師大版高中數學教材必修5 第51頁居然說成《數學九章》！）。
成就：
①中國剩餘定理（秦九韶定理），比西方的歐拉早500年。它包含在一個稱為「大衍總數術」的巧妙演演算法中。
②高次方程的數值解法，比西方的霍納早500年。
③三角形的海倫--秦九韶面積公式（據說這公式阿基米德也已經知道）
2、宋元四大家之李冶
李冶，字仁卿，欒城（今河北欒城縣）人，南宋數學家、天文學家、曆史學家，進士出身，曾有官職，後歸隱封龍山收徒講學。
著有《測圓海鏡》、《益古演段》；
其貢獻在於引入了名為「天元」（相當於「嫌疑人X」）的未知數概念，創立了利用未知數建立方程的方法（天元術），為幾何的代數化鋪平了道路。
此外，李冶還與秦九韶各自獨立地引進記號〇表示空位。至此，中國十進位完善了。
3、宋元四大家之楊輝
楊輝，字謙光，臨安（今杭州）人，南宋數學家和數學教育家，曾擔任地方官。
著有《詳解九章演演算法》、《日用演演算法》、《楊輝演演算法》；
成就：
發揚光大了沈括、賈憲的數學成就。此外，楊輝還是中國第一個系統研究幻方（Magic square）的人。最早的幻方也出自中國，洛書，又稱九宮格。它也出現在金庸的《射鵰英雄傳》中，請看以下視頻：
①將沈括《夢溪筆談》中的「隙積術」普及，作為特例，他不僅給出了阿基米德的求和公式(2)，還給出了下述三角垛的求和公式
沈括、楊輝所考慮的這類「堆垛」問題的推廣，用現代術語來說即「高階等差數列的求和」。這一問題後來被朱世傑所創立的「垛積招差術」徹底解決，他所依賴的工具之一就是楊輝的另一項成就。
②從賈憲（現已失傳）的工作中發掘出二項式係數的「賈憲三角」關係，今人稱之為「楊輝三角」，因為它出現在楊輝的《詳解九章演演算法》中。西方稱之為帕斯卡三角，事實上帕斯卡比楊輝都晚生了近400年。先後有許多數學家獨立發現這一結果，都說明了，這是一個基本的發現。
楊輝三角最基本的性質是（楊輝恆等式）：
*維基百科中的帕斯卡三角：https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle
4、宋元四大家之朱世傑
朱世傑，字漢卿，燕山（今北京）人，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。
著有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》；
當代著名數學家吳文俊（中科院院士、2000年國家最高科學技術獎得主）對《四元玉鑒》有高度評價：這本書標誌著我國傳統數學的頂峰。
吳文俊關於數學機械化的開創性工作，得益於朱世傑《四元玉鑒》求解多元多項式方程組的工作（「四元術」）以及20世紀美國數學家李特（J. F. Ritt）的工作。
成就：
①將李冶的天元術發展為四元術，用以求解多元多項式方程組。所謂四元即四個未知數的名稱，稱之為天、地、人、物。 正是這項成就啟發了吳文俊開創了數學機械化的工作。
小引：清代數學家李善蘭將26個拉丁字母依次翻譯為十天幹（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）、十二地支（子、醜、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）和四元（天、地、人、物）。因此天、地、人、物恰好對應w,x,y,z，這幾個字母常用來表示未知數。
Question1：在幹支紀年中，今年（2016）是什麼年？提示，你記得甲午戰爭是哪一年嗎？或者你看過這個段子嗎？
讓子彈飛：炸在辛亥這個地方了！
Question 2：阿基米德生於公元前287年，朱世傑生於1249年，高斯生於1777年。據說按照中國人的十二生肖，他們的屬相相同。請問：是這樣的嗎，如果是，阿基米德、朱世傑和高斯都屬啥？
②將沈括、楊輝的「隙積」、「堆垛」術系統發展，得到「垛積術」的基本關係式，也就是現在所謂的「朱世傑恆等式」，它是阿基米德求和式（1）和楊輝三角垛求和公式（2*）的自然推廣：
在朱世傑恆等式（A）中令p=1，2就得到阿基米德求和式（1）和楊輝的三角垛求和公式（2*）。[用字母C是因為它是組合單詞combination的首字母。]
「垛積」中的「垛」是高階等差數列（高次多項式）的幾何對應物，例如「三角垛」其實就是三角形數，回憶起阿基米德公式
有各種各樣的整數值多項式，從而有各種各樣的垛狀數（Figurate numbers)。
見維基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Figurate_number
「垛積」中的「積」其實是「求和」的意思。因此「垛積」的意思就是高階等差數列的求和。「垛積術」的要訣就是今人所謂的「裂項求和」。而如何「裂項」則是朱世傑的第3項成就。這是本報告中最微妙的部分，接下來我們重點介紹。
③完善了元代郭守敬《授時曆》中所用的招差術，得到了四階等差數列的招差公式。用現代數學術語來說，朱世傑的四階招差公式相當於說：若f(n)是一個四次多項式，則
其中係數
舉例：
由於朱世傑完全掌握這一演演算法，可以我們有理由推斷，他事實上得到了任意次數的多項式的招差公式，這個結果在西方最早由300多年以後的英國數學家格裡高利和牛頓分別得到。不過牛頓的同胞泰勒在牛頓差分公式的基礎上更進一步（取極限）而得到了微積分的基本結果（泰勒定理）。中國沒有產生微積分。朱世傑的招差術是離散的微分，朱世傑的垛積術是離散的積分，所以我們這裡講的就是離散的微積分。它距離連續的微積分只有一步之遙。
有了招差術和垛積術，那麼高階等差數列（p階等差數列的通項公式就是p次多項式f(n)）的求和就是水到渠成的了。例如，根據前面的結果，可以求得前n個數的四次方和公式
朱世傑正是用同樣的方法求得了前n個數的立方和公式（3）。留給有興趣的讀者。[一定要動手！數學不是光靠看書聽講就能學會的。動筆算過之後，印象會更深刻。數學家的最重要的兩樣武器：筆和紙。]
類似的，可以想見，朱世傑的「垛積招差術」可以解決一般的p次冪求和
這個問題朱世傑本人並未考慮，他留給了清代的李善蘭。不過在此之前，西方人（例如費馬）已經解決了這個問題，因為他們要求冪函數 在[0,1]上的面積。這個公式稱為福爾哈伯公式（Faulhaber’s formula）。20世紀大數學家西格爾（Siegel)曾這樣說：第一個發現這個公式的人（可能是11世紀的埃及數學家海塞姆）必定博得了上帝的歡喜(It pleased the dear Lord.)。
小引：之所以一般用字母 p 表示冪次數，是因為冪的英文是 power。冪函數(power function)，楊冪=楊平方
秦九韶、李冶、朱世傑之比較
南秦北李一時瑜亮，相得益彰
秦九韶的《數書九章》與李冶的《測圓海鏡》幾乎同時完成，甚至不約而同地引入了記號〇，但他們從未提到對方的工作，也許他們根本不認識對方。事實上，他們分別屬於兩個敵對的王朝，秦李二人的工作（求解與建立方程）互為補充，交相輝映。二者合在一起，正是中國古代數學黃金時代的標誌。
朱世傑集眾家之大成後來居上
與宋代的秦、李、楊不同，朱世傑一生未入仕途，以數學名家之身份周遊湖海二十餘年，吸收並發展了秦、李、楊、郭的成就。他的成就大概可以用丘成桐先生的一副楹聯來形容：
地有南北，無疆域始成大業；
學無先後，有德才方是賢人。
道古橋的故事
當代數學家蔡天新是秦九韶超級粉絲，他曾「突發奇想」，建議並敦促杭州市政府為紀念秦九韶的道古橋複名立碑。這一建議後來被採納，並請數學家王元（華羅庚的弟子）題寫了橋名。這正是七百多年前的一段數學佳話的迴響：
1238 年，秦九韶回臨安丁父憂，見河上無橋，兩岸人民往來很不便，便親自設計，再通過朋友從府庫得到銀兩資助，在西溪河上造了一座橋。橋建好後，原本沒有名字，因橋建在西溪河上，習慣上被叫作「西溪橋」。直到元代初，另一位大數學家、遊歷四方的北方人朱世傑來到杭州，才倡議將「西溪橋」更名為「道古橋」，以紀念造橋人、他所敬仰的前輩數學家秦九韶，並親自將橋名書鐫橋頭。
秦九韶、朱世傑、王元和蔡天新，讓道古橋變成了一座有故事的橋。它起初只是橫跨西溪，而如今已經縱貫古今，連接了前後七八百年的數學家，是數學史和數學文化的活字碑。
蔡天新教授在道古橋邊留影（蔡天新教授提供）
數學在中國與西方地位之不同
數學在中國古代不受重視是有深刻的社會文化因素的，丘成桐先生在其文《數學和中國文學的比較》一文中有透闢的分析：
自古以來，中國儒家就將數學放在六藝之末，只是一門輔助性的學問。當政者（更不用說等閑之輩）更視之為雕蟲小技，與文學比較，連歌頌朝廷的功能都沒有，政府對數學的重視直到近代才有極大的改進。
西方則不然，希臘哲學以數學為萬學之基。柏拉圖以通幾何為入其門檻之先決條件，所以數學家佔有崇高地位，數學因此在西方蓬勃發展了兩千多年。
魯豫有約：數學家的藝術人生
宋元之後的數學
明朝數學
宋元之後，數學衰微了。但明朝有兩件事情對數學發展有重要的影響，特別值得一提。
⑴、《永樂大典》（ 成書11095冊，「世界有史以來規模最大的百科全書」）的編撰，這讓宋元時代以及更早的數學著作得以保存，可惜《永樂大典》留存不全，現存的除大陸和台灣，其它地方如日本、美國、英國、德國、越南、韓國都非法佔有。我們所展示的楊輝三角就取自英國劍橋大學圖書館收藏的一冊《永樂大典》（感謝中科院數學所李文林教授）。
⑵、義大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）1600 年到北京，與徐光啟合譯歐幾裡得《幾何原本》前六卷，這是西方數學傳入中國的開端。利瑪竇（醉翁之意不在酒）旨在傳教，因此只配合徐光啟翻譯了前六卷。200多年後，其後的九卷由李善蘭和英國人偉烈亞力（ Wylie ）合作翻譯而成。
清朝數學
中國歷史上有三個帝王對科學感興趣：北宋仁宗趙禎、元世祖忽必烈（禮遇李冶）、清康熙皇帝。但對數學最有興趣的首推康熙。[從世界的眼光來看，則有俄國的彼得大帝、法蘭西帝國的始皇帝拿破崙、新加坡現任總理李顯龍，中國國家副主席李源潮]
萊布尼茲曾給彼得大帝和康熙大帝寫親筆信，建議成立科學院。
彼得很有眼光，在聖彼得堡建立了科學院並邀請歐拉（Euler）到此工作，俄國的數學一下子前進了幾百年。彼得要求臣子們都學數學：「老子都能學會，你們都得給老子學會！」
康熙也學數學，並要求臣子學，但他是這麼說的：「看你們多蠢，這玩意只有老子能學會！」他只是想藉此炫耀自己聰明高人一等，根本沒有想過要把數學作為一門學問一股動力來發展。
康熙學數學的故事我不是權威，因此只能點到為止。最近牛津大學出了一本專著講這個故事，作者Catherine Jami的中文名詹嘉玲。
清朝的曆史有個特點：從康熙到雍正之過渡非常之激蕩劇烈，正史似乎沒有交代明白，不過這在曹雪芹的《紅樓夢》一書中有深刻的反映。
雍正元年（1723年），雍正下令將西洋傳教士驅逐到澳門，此後一百餘年，西方數學的傳入中止。（老子勤學好問，兒子不學無術！）
乾隆三十八年（1773年），朝廷組織編輯《四庫全書》、輯錄《永樂大典》，發現了宋元數學家如楊輝、秦九韶、朱世傑、李冶的名著，掀起研究古典數學的高潮。出現了許多創造性的工作，特別值得一提的是李善蘭。
李善蘭，1811-1882，浙江海寧人，清代數學家、數學教育家。他的突出貢獻是繼承、發展了朱世傑的「垛積術」，這總結在他的四卷本著作《垛積比類》中。特別的，他提出了一個新的組合恆等式，後人稱之為李善蘭恆等式。有興趣的讀者可見華羅庚的小冊子《數學歸納法》或者我本人掛在善科網上的小文章：林開亮：誰人最愛李善蘭？
作為19世紀「極客」的李善蘭
高德納(D.E.Knuth)，美國計算機科學家、數學家,1974 年圖靈獎獲得者、計算機演演算法和程序設計技術的先驅，著有編程聖經《計算機程序設計藝術》。他在2014年的一個訪談裡提到了李善蘭，把李善蘭和曆史上的多位大數學家一併列為19世紀的「極客」同行。
我要解釋的是極客（美國俚語「geek」的音譯。隨著網際網路文化的興起，這個詞含有智力超群和努力的語意，又被用於形容對計算機和網路技術有狂熱興趣並投入大量時間鑽研的人）。世界人口的一小部分已經獲取了一種特殊的思維方式，我碰巧也在其中。為簡單起見，讓我說像我這這樣的人是「極客」，他們約佔世界人口的2%。
那麼，19 世紀早期的極客都有誰呢？我認為，在1814 年之前出生的極客（雖然他們一般被認為是數學家），有阿貝爾（1802 年），雅可比（1804 年）、哈密爾頓（1805 年）、柯克曼（1806 年）、德·摩根（1806 年）、劉維爾（1809 年）、庫默爾（1810 年）和中國的李善蘭（1811 年）。我列出的這些「數學家」的著作令我著迷。1814 年以後出生的極客，有卡特蘭（1814 年）、西爾維斯特（1814 年）、布爾（1815 年）、維爾斯特拉斯（1815 年）和博爾夏特（1817 年）。我會喜歡與這些人為伍，如果幸運的話，我可能也會做著與他們類似的事。
順便說一句，我認為曆史上第一個歸類為「百分之百極客」的人是圖靈（電影《模仿遊戲》的主人公原型）。他的許多前輩有很強的極客癥狀，但圖靈確實是完全地「極客」化了。
作為翻譯家的李善蘭
前面我們已經提到李善蘭的翻譯工作，例如他與偉烈亞力翻譯了歐幾裡得《幾何原本》後九卷，他們還合譯了德·摩根的《代數學》，美國數學家羅密士（E. Loomis）的微積分著作《代微積拾級》，還與偉烈亞力、傅蘭雅（J. Fryer）翻譯了牛頓（Newton）的《自然哲學之數學原理》。
李善蘭確立了一些科學名詞的翻譯，如微積分（calculus）中的微分（differentiation ） 、積分（integration ） 、函數（function ）；我們今天所講的對應的離散概念：差分（difference）、求和（summation）、數列（sequence）。
推薦讀物
1. 蔡天新《數學傳奇》商務印書館 2016
（他的新浪博客、他在「愛課程網」上的同名公開課視頻）
2.華羅庚《從楊輝三角談起》、《數學歸納法》
3. 陳景潤《組合數學》
4.貝爾《數學大師：從芝諾到龐加萊》
5. 庫克《當代大數學家畫傳》，林開亮等譯
6. 柯朗、羅賓，《什麼是數學？》
7. 波利亞，《怎樣解題》
8. 丘成桐，「數學與人文」叢書，《大宇之形》
9.I. M. Gelfand 自述，見 數學縱貫線，http://mp.weixin.qq.com/s/3o7UK9R5GYLAe1aNaWzTuQ
10. 林開亮，微積分之前奏（或變奏）：高階等差數列的求和}，《數學傳播》,2017年第1期，61-79
11. 呂埃勒，《數學與人類思維》，林開亮、王兢、張海濤譯http://www.huanqiukexue.com/html/newgc/2016/0127/25908.html
最後的思考題
求出下列算式的和；進一步，你可以將結果推廣嗎？
本報告強調的不僅僅是技巧而是一種方法。那麼，方法與技巧的差別在哪裡呢？數學家波利亞（G. Polya）對此有精闢見解：
方法與技巧的差別在哪裡：方法就是放之四海而皆準的技巧。
石家莊站報告中的提問
問題1：為什麼要把寫成更複雜的形式？
答： 的上述分解主要是為了求和的方便，由上式可以立即（根據朱世傑恆等式）推出求和式(4)。
這個方法在精神上跟曹沖稱象的故事很接近，就好比是一頭大象，直接稱重不好稱，那麼我們把它分解了，於是每一部分都好稱了，各個擊破，問題就解決了。
所以，那麼寫看起來是弄複雜了，其實每一部分都更簡單了。
問題2：請老師給講一講導數的概念
答：導數的概念很微妙，需要用到一個更基本的概念，極限。因此我著重解釋一下極限的概念，理解了極限，導數就容易了。
非誠勿擾來的例子。比方：幸福是一種理想情況。怎樣才算幸福？如果你能容忍許多微小的不幸福，那就是幸福了。
極限（以及導數）概念之微妙，可與愛情相提並論：Math is like love, a simple idea, but it can get complicated. （數學就像愛情，想法是簡單的，但它可以搞得很複雜！）
最新科普書：《愛與數學》Love and Math
http://www.edwardfrenkel.com/lovemath/
問題3 （一位孩子家長代替沒法來聽講座的孩子問）：最後那個思考題的答案是什麼？跟明天的考試有沒有關係？
回答：具體答案我不能說，這是留給學生的問題，要讓TA去思考，事實上剛才有同學已經想到了答案。這個問題跟明天的考試不一定有關係，但思考一下會很有好處。
我這裡傳授的不僅僅是知識，更重要的是考慮問題的一種方法。我要特別補充一句，學數學的重點不在公式，而且根本不存在萬能的公式。但存在著解決問題的萬能方法：trial and error（試探並糾錯）。So, try it first!（先試試！）
最後，我將楊振寧先生勉勵年輕人的一句話轉送給諸位：
A young calf does not know enough to fear the tiger.
初生牛犢不怕虎
作者：林開亮
求學於天津大學、首都師範大學，於2014年獲得基礎數學方向的博士學位，現在西北農林科技大學教微積分。除教學和研究外，致力於數學科普，曾與同學翻譯《當代大數學家畫傳》、《數學與人類思維》和《數學家講解小學數學》，並在《數學傳播》、《數學文化》、《中國數學會通訊》和善科網數學交流平台發表多篇文章。
致謝
感謝「數學愛好者俱樂部」李萌老師和西北農林科技大學水保專業金永亮同學特意為作者截取了《射鵰英雄傳》和《讓子彈飛》的視頻！
本文由超級數學建模編輯整理
資料來源於林開亮教授石家莊站報告
已獲作者全面授權
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